Potenza di potenza: definizione ed esposizione dell’argomento

Quello di potenza, è un concetto alquanto complicato, in cui numerosi studenti, specialmente se alle prime armi con la matematica, ritrovano maggior difficoltà nella sua comprensione. A spaventare ancora di più sembrano però essere le tante nozioni che si scoprono se ci si addentra all’interno del campo delle potenze della matematica che, per quanto a prima vista diano l’impressione di esser complesse, possono esser comprese facilmente con le dovute spiegazioni. Come abbiamo visto negli articoli precedenti il concetto di potenza si ramifica in quoziente di potenze con la stessa base e prodotto di potenze con la stessa base, argomenti che ti invito vivamente di ripassare prima di imbatterci nell’argomento del corrispondete articolo, costituente la potenza di potenza.

La definizione

La potenza di potenza, (a^b)^c, è una notazione che si presenta quando si eleva un esponente a un altro esponente a sua volta in cui si eleva la base a per la moltiplicazione degli esponenti b e c.

A titolo esemplificativo è possibile riportare un esempio come questo: (3²)³. In questo caso si riscrive la base, quindi il tre, e si calcola il prodotto tra i due esponenti 2 e 3, 3^2*3, ottenendo come risultato 3⁵.

Al fine di agevolare i calcoli e facilitarne la comprensione è possibile applicare qualche piccolo trucco estrapolato dalle proprietà della moltiplicazione, la cui proprietà commutativa, tipica anche dell’addizione, enuncia che cambiando l’ordine dei fattori della moltiplicazione, il prodotto non cambia: nozione che è applicabile nel calcolo del prodotto degli esponenti. Nell’esempio riportato precedentemente, quindi, qualora noi moltiplicassimo il 2 per il 3, o il 3 per il 2, il risultato rimarrebbe invariato.

Inoltre, quando disponiamo di una serie di potenze di potenze con la stessa base, è possibile riportare la stessa base elevata alla somma del prodotto delle coppie degli esponenti. Ad esempio (a^b)^c * (a^d)^e = [a^(b*c)+(d*e)]

Anche questa volta, al fine di semplificare la nozione sopra riportata, è possibile trascrivere un semplice esempio come (4³)³ * (4³)². In questo caso si riscrive la base equivalente a quattro e la si eleva alla somma del prodotto delle coppie di esponenti 3*3 e 3*2, [4^(3*3)+(3*2)], ottenendo in questo modo 4¹⁵.

Applicazioni pratiche

Quello di potenza di potenza è un concetto applicato in diversi ambiti come fisica, crittografia, calcolo e numeri. Nello specifico trova spazio in diverse nozioni come:

1. teoria delle particelle e della cosmologia: apparendo frequentemente in espressioni matematiche che descrivono le interazioni tra particelle e il comportamento dell’universo;
2. esponenziazione modulare: venendo utilizzata per creare algoritmi crittografici robusti e sicuri;
3. calcolo differenziale e integrale: emergendo in formule che coinvolgono funzioni composte e derivate multiple;
4. congruenze esponenziali: un tipo di problema di teoria di numeri avanzati.